Svima nam je poznat sistem podučavanja matematike koji počinje brojanjem, nakon čega slijedi učenje sabiranja i oduzimanja, pa množenja i dijeljenja. Učimo baratati sa sve većim brojevima, a nakon određenog vremena na scenu stupaju i razlomci. U ranom pubertetu, upoznaju nas s obrascima brojeva i slova u potpuno novom predmetu koji se zove algebra. Vrlo mali broj učenika i učenica prođe kroz geometriju, trigonometriju i na kraju, matematičku analizu[1], koja se smatra vrhom kada je u pitanju srednjoškolsko obrazovanje iz matematike.
Međutim, ovakav sistem nema previše veze s tim kako razmišljamo, kako djeca raste i uče, niti sa načinom na koji matematika funkcionira, kaže Maria Droujkova, matematička edukatorica-pionirka koja se bavi i dizajniranjem kurikuluma. Njen stav dijele mnoge kolege i kolegice širom svijeta koje žele promijeniti način na koji se matematika podučava.
Sistem po kojem danas podučavamo matematiku utemeljen je nekom historijskom greškom, koja čini manje zabavnim zaigrani matematički univerzum, kako ga ona naziva, sa svojih 60 disciplina, koji prožima sve, od pletenja do građevine: prirodu, muziku, umjetnost. Da stvar bude gora, na početku kurikuluma imamo aritmetiku, što je po njenom mišljenju mnogo komplikovanije za manju djecu, nego, recimo, neke aktivnosti koje uključuju igru i koje se zasnivaju na naprednijem gradivu u matematici.
Zadaci računanja koji se često daju djeci neprikladni su za njihov razvoj. Ovakvo iskustvo za njih je mučenje, kaže ona. I što je najvažnije, fokusirajući se na to ne možemo shvatiti smisao matematike – strukturu i obrasce (ponavljanje). Koncentriranje na male manipulacije brojevima isto je kao da mlade, talentirane režiser(k)e podučavate prvo pravljenju kostima, svjetlu i drugim tehničkim aspektima filma, a tek nakon toga pravljenju smislenih priča.
Upravo to je razlog što mnoga djeca vrlo rano gube interes za matematiku. Ili što mnoga djeca ne uspiju savladati matematiku na efikasan ili temeljitiji način. Njen tim se susreo sa mnogim odraslima koji su imali neku vrstu traume ili problema sa matematikom u svom životu. Znalo se desiti da jedna cjelina, ili čak jedna lekcija, kao što su recimo razlomci budu razlog da se zaostaje u školi. Nije jednom svjedočila kako ljudi briznu u plač tokom intervjua, osvijestivši anksioznost i izgubljene snove iz mladosti.
Maria Droujkova, Ukrajinka koja se preselila u SAD te potom stekla doktorat na temu obrazovanja iz matematike, poziva na holistički pristup i, njenim riječima, prirodnu matematiku, koja se radi sa djecom koja počinju hodati, ali i sa njihovim roditeljima. Upravo ovakav pristup možemo pronaći i u knjizi Moebius Noodles: avanturistička matematika za zaigrano društvo, čija je koautorica, zajedno sa Yelenom McManaman. One žele snažni, produktivni dječiji instinkt, sklon istraživanju kroz igru, opremiti da sam putuje kroz ovaj predmet. Istraživanja (naprimjer, ovo, ali i mnoga druga na koja se pozivamo na ovom simpozijumu) pokazuju kako su igrice ili slobodan način igranja veoma efikasni načini učenja, ali i nešto u čemu djeca najviše uživaju. Igranje će nam pružiti strukturu, ali i šansu da na kreativniji način pristupimo zadacima primjećivanja, pridruživanja i građenja matematičkih obrazaca.
Pronalaženje pravog načina za podučavanje leži u uzimanju u obzir činjenice koju često zanemarujemo – kompleksnost ideje i njeno sprovođenje u djelo dvije su odvojene dimenzije, nezavisne jedna od druge, kaže ona. Nažalost, većina onog što se djeci nudi jeste jednostavno, ali je teško. To su primitivne ideje koje je nama teško primijeniti, zato što takve ideje postavljaju granice radnoj memoriji, pažnji, preciznosti i drugim kognitivnim vještinama. Aktivnosti, koje ona naziva jednostavnim, ali teškim, nalikuju na, recimo, kopanje rova kašikom (što je neka vrsta kazne u vojsci i obuhvata jednostavan zadatak koji se ponavlja – možemo ga uporediti sa stotinu zadataka sabiranja dvocifrenih brojeva, kaže ona) ili pamćenje tablice množenja napamet po principu odvojenih činjenica, a ne uviđanja zakonitosti ili obrazaca.
Mnogo je bolje, navodi ona, obrazovanje početi stvaranjem bogatog društvenog matematičkog iskustva koje je u isto vrijeme kompleksno (i koje će đacima ponuditi mnogo više različitih pristupa), ali lagano (može se postići kroz igru). Takav zadatak bi mogao biti, recimo, građenje kuće od LEGO kockica, pravljenje origami figurica, rezanje pahuljica od papira ili čak improvizirana kutija funkcija koja transformira predmete (a koja se može koristiti u kombinaciji sa drugim pomagalom kako bi se izvela funkcija ili, u obrnutom smjeru, svela na njene komponente).
Koju god granu matematike uzmete, možete pronaći stvari koje su i kompleksne ali i lagane. Moj je zadatak bio da, uz pomoć nekoliko kolega i kolegica iz cijelog svijeta, podijelim to matematičko blago i učinim ga dostupnim svima, kaže Maria Droujkova.
Odlučila je početi sa algebrom i matematičkom analizom zbog toga što funkcioniraju na principu obrazaca, uključuju procese dizajniranja i stvaranja i pružaju mogućnost učenja kroz igru. Moebius Noodles tako sadrži aktivnosti koje se sastoje od pravljenja fraktala (kako bi se ukazalo na važnost ponavljanja i infinitezimalnog računa), kao i knjiga-ogledala (ogledala koja su nalijepljena jedno na drugo kao korice knjige i koja se mogu okretati pod različitim uglovima oko nekog predmeta kako bi se pokazao koncept beskonačnosti i transformacije). (Još jedna knjiga napisana u sličnom žanru je Matematička analiza od mladih ljudi za mlade ljude, autora Dona Cohena.)
Mi ne želimo predavati matematičku analizu onako kako se ona predaje u formalnom obrazovanju. Prije nego što dođemo do tog stadija, želimo se igrati sa praktičnim, utemeljenim i metaforičkim. Kroz igru mi ustvari učimo na jedan veoma temeljit način – određeni koncept postaje dio nas: mentalno, fizički, emocionalno i kulturalno, kaže ona. Ovakav nam pristup daje jake temelje, koji neće dozvoliti apstraktnom krovu našeg znanja da propadne. Ono što naučimo van igre kvalitativno je drugačije. Pomaže nam da položimo test i radimo jednostavne vježbe, ali nas ne uči da razmišljamo na logičan način niti da rješavamo probleme. Ove dvije stvari su zasebne i nemaju mnogo toga zajedničkog.
Ona od petogodišnje djece ne očekuje da budu u stanju rješavati jednačine. Postoje različiti nivoi razumijevanja. Nije nam cilj nametnuti formalno razumijevanje u tako ranom stadiju, kaže ona. Nakon neformalnog nivoa slijedi onaj gdje učenici i učenice razmatraju ideje i primjećuju obrasce. Nakon toga ide formalni nivo, gdje se počinju koristiti apstraktni pojmovi, grafikoni i formule. U idealnom slučaju, na cijelom tom putovanju uspjet ćemo zadržati aspekt igranja. Matematičari/ke upravo to i rade, igraju se sa apstraktnim idejama, s naglaskom na igranju.
Maria Droujkova kaže da je prirodna matematika ustvari pokret za slobodu, sa sloganom učinite matematiku svojom, kako biste stvorili vlastitu matematiku. Dalje objašnjava: Radimo za slobodu na više nivoa – slobodnu igru za malu djecu, slobodu da roditelji i zajednice na lokalnom nivou organiziraju matematičke aktivnosti, samostalnost umjetnosti i stvaralaštva, pa čak i slobodu za nas koji pravimo kurikulume... Ne postoji određeni dio matematike koji odgovara svima. Ljudi su različiti i potrebno je da matematici prilaze na različite načine.
U grupi đaka koji uče o karakteristikama romba, neko ko ima umjetničke sklonosti možda će imati potrebu da ga nacrta, neko ko voli programirati, da kodira romb. Filozof ili filozofkinja će pričati o biti romba a neko drugi će možda napraviti origami figuricu romba.
Ne želimo reći da svi ljudi trebaju savladaju određene stvari iz matematike, pri čemu ne uzimamo u obzir ono što im je potrebno za život u okviru njihove vlastite kulture. Mnogi ljudi dožive duboku i sretnu starost a da, naprimjer, ne saznaju šta je to matematička analiza. Međutim, svijet bi bio bolje mjesto ukoliko bismo imali veći procenat matematičke pismenosti, a ljudskoj vrsti kao cjelini napredna matematika treba kako bi preživjela narednih 100 godina, zbog kompleksnih problema sa kojima se susreće.
Djeca trebaju biti izložena različitim matematičkim stilovima kako bi pronašla svoj vlastiti. Međutim, potrebno im je da vide (za njih) bitne ljude kako matematiku smisleno koriste i kako pri tome uživaju. Jedan od načina da se ovo postigne jesu matematički krugovi, gdje ljudi pomažu jedni drugima, tako da se broj krugova uvećava. Matematički know-how (aktivnosti i primjeri) treba doći kroz zajednički rad, gdje novi članovi i članice imaju priliku da nauče. Jedno bez drugog ne ide, kaže Maria Droujkova.
Međutim, ukoliko želimo da učenje bude što efikasnije i temeljitije, najbitnije je da bude slobodno. Što znači da djeci moramo dati pravo glasa u vezi sa aktivnostima u kojima će učestvovati, njihovim trajanjem, kao i težinom zadataka. (To je i najveći izazov kada je u pitanju promjena tradicionalnog kurikuluma, kaže Maria Droujkova.)
Odrasli trebaju biti spremni na situacije kada bi djeca radije radila nešto drugo, a ne aktivnost koju smo mi planirali. Ono što mi trebamo raditi jeste inspirirati, govoriti stvari tipa: „Kakav kompleksan oblik – jeste li primijetili da je ova kriva napravljena od pravilnih linija?“. Moramo pokušati sve što djeca rade povezati s matematikom. To je teško ostvariti – zahtijeva i pedagoško ali i matematičko znanje, ali se može naučiti. Dobra stvar je da smo svi u stanju pružiti podršku jedni drugima. Uvijek možemo reći: To je jako interesantno. Pokušat ću pronaći više informacija o tome. Možete potražiti informacije na internetu ili na forumima matematičkih krugova, kako biste pronašli matematičko objašnjenje za nešto.
Mnogo će vam pomoći da imate različite interesantne materijale pri ruci kada vam zatrebaju. Morate se pomiriti i sa činjenicom da djeca moraju praviti pauze kada njima to odgovara. Maria Droujkova napominje i da u većini grupa postoji jedno ili dvoje djece koja će željeti raditi nešto drugačije od onoga što rade ostali, a što je glavna aktivnost časa. (Još dodaje i da takva djeca imaju ogromnu sposobnost da usvoje ono što se pokušava postići glavnom aktivnošću.)
Ovakav je pristup naišao na otpor kod dva veoma različita (i često suprotna) tabora. Jedan od njih zastupa ideju pustite djecu da budu djeca, te su mišljenja da, ukoliko prihvatimo inicijativu da malu djecu treba učiti algebri i matematičkoj analizi, Mame tigrice[i] vršit će pritisak na njih da što ranije počnu sa formalnim usvajanjem ovog gradiva, što je, naravno, u totalnoj suprotnosti s onim što se želi postići. Druga grupa pripada inicijativi vratimo se osnovama. Po njima, toliko igranja može utjecati na to da djeca ne usvoje tradicionalne vještine računanja.
Maria Droujkova ipak misli da ovakvi stavovi pokazuju nešto mnogo bitnije: Oni nam govore o velikim razilaženjima u različitim obrazovnim filozofijama, i u krajnjoj liniji, različitoj budućnosti koju gradimo za ovu djecu. Ako im dajemo niz sličnih vježbi, mi ih zamišljamo u situacijama koje iziskuju tvorničku preciznost. Ako s njima radimo logičke slagalice ili otvorene projekte, u njima ćemo pobuditi želju da postanu istraživači/ce i dizajneri/ce. Stvari ne funkcioniraju na tako jednostavan način, priznaje, ali takva uvjerenja diktiraju kakvo ćemo matematičko obrazovanje dizajnirati i odabrati za djecu.
Postavlja se pitanje kako organizirati ovakav pristup tamo gdje za to nema uslova. Maria Droujkova napominje da ovakvu nastavu može voditi svaka iole obrazovana odrasla osoba – ključ je imati pravu podršku. Ona i njene kolege i kolegice nastoje osposobiti lokalne zajednice i povećati dostupnost na svim frontovima: matematičkom, kulturološkom, finansijskom. Svoje materijale učinili su dostupnim na Creative Commons platformi, a dizajnirali su i aktivnosti za koje je dovoljno imati samo ovakve materijale, koji se mogu lako preuzeti.
Danas nam je vrlo lako pronaći informacije o tome kako organizirati otvoreno obrazovanje koje je fokusirano na zajednicu u sredinama gdje za to nema uslova, kaže Maria Droujkova, navodeći eksperimente koje su provodili Sugara Mitra i Dave Eggers. Online centri mogu povezati istomišljenike/ce koje pripadaju istoj zajednici, a online kursevi i materijali su dostupni roditeljima, učiteljima/cama i mladima koji žele voditi lokalne grupe.
Također kaže da je jedan od najvećih izazova na koji je naišla upravo mentalni sklop odraslih osoba. Roditelj su skloni da sa svojom djecom ponavljaju iste stare greške kada je matematika u pitanju. Međutim, kada pričaju o igrama koje su zasnovane na algebri i matematičkoj analizi, opisuju ih kao da počinju ispočetka (...) Daje im se prilika da osjete radost igranja sa matematikom, kao bebe rođene u nekom novom svijetu.
Luba Vangelova
Tekst preuzet sa The Atlantic.
Perevela: Merima Dervišić
[1] Diferencijalni i integralni račun.
[i] Termin koji se koristi za jako stroge mame koje zahtijevaju disciplinu, kao referenca na knjigu Battle Hymn of the Tiger Mother, autorice Amy Chua
