Tri igrača (A, B i C) igraju nogomet i to na način da jedan igrač brani, a dva igrača pokušavaju postići pogodak. Igrač koji postigne pogodak ide na gol i igra se ponavlja. Recimo, neka je sada na golu igrač C, a napadaju A i B. Ukoliko igrač A postigne pogodak, on će braniti, dok će igrači B i C pokušavati postići pogodak u idućoj igri. Harun, Admir i Sead su igrali ovu igru. Nakon što su završili sa igrom, sreli su profesora Hasana i rekli mu da je Harun napadao 12 puta, Admir 21 put, dok je Sead branio 8 puta. Profesor Hasan je rekao da zna ko je postigao šesti gol. Znate li vi ko je postigao šesti gol? Navedite ime igrača koji je postigao gol i dokažite da je vaš zaključak ispravan.
Ovo je zadatak za najmlađe polaznike i polaznice u Školi matematike za nadarene učenike i učenice koju Udruženje matematičara Kantona Sarajevo organizuje svake subote u prostorijama Prirodno-matematičkog fakulteta u Sarajevu.
Udruženje i Škola osnovani su s ciljem popularizacije matematike i matematičkih nauka (nauka u kojima se primjenjuje matematika). Škola je otvorena za sve zainteresirane.
Prije toga, po sličnom konceptu rada, Bosna Sema obrazovne institucije su organizovale višednevne kampove koje su mogli pohađati samo učenici iz tih škola i to je bila praksa do 2012. godine. Kasnije je to pravilo izmijenjeno pa su matematičke kampove mogli pohađati učenici svih škola iz cijele BiH. Cijena ovog kampa u trajanju od šest dana je 100 KM bez smještaja ili 130 KM sa smještajem. Kampovi su se održavali dva puta godišnje, u januaru i augustu.
Naš sagovornik Admir Beširević posljednjih šest godina je jedan od predavača na kampovima i zadovoljan je rezultatima koji se postižu na domaćim i međunarodnim takmičenjima. Kao primjer nam navodi rezultate s internacionalnih matematičkih olimpijada u posljednje dvije godine na kojima su učenice iz BiH osvojile rekordne četiri medalje od mogućih šest, a isti rezultat je ostvaren samo još 2000. godine.
Admir smatra da su kampovi koncept koji se kroz godine pokazao kvalitetnim i uspješnim, ali i pored toga što je učešće na kampovima omogućeno svoj djeci, oni koji su pohađali Internacionalnu školu i Sarajevo koledž su i dalje bili u povlaštenom položaju jer su tokom cijele godine imali kvalitetnu sekciju. Da bi se pružila prilika i učenicima iz drugih škola, članovi Udruženja matematičara odlučili su pokrenuti Školu matematike za nadarene učenike kako bi matematiku učinili pristupačnijom tokom čitave godine makar za đake iz Sarajeva i okolice. Tako se od septembra prošle godine svake subote u učionicama Prirodno-matematičkog fakulteta u Sarajevu održava trosatna sekcija matematike.
Rad ove sekcije podijeljen je u pet grupa: grupa A, osnovna škola; grupa B, osnovna škola; te srednja, predolimpijska i olimpijska grupa. Školu pohađa preko 100 učenika, a najmanje ih je, očekivano, u olimpijskoj grupi. Članovi grupa su učenici osnovnih i srednjih škola, a u grupe se raspoređuju tako što im predavači predlože grupu za koju smatraju da je odgovarajuća njihovom predznanju. Ipak, učenici na kraju sami odluče u koju grupu žele ići. Svi zainteresovani mogu pohađati ovu školu, a mjesečna cijena je 40 KM po učeniku. Koncept rada sekcije je takav da tri subote u mjesecu imaju predavanja iz raznih oblasti matematike, a četvrtu subotu imaju provjeru znanja. Nakon testa, učenici zajedno s profesorima prodiskutuju o mogućim načinima za rješenje problema i to je ono što Admir smatra najvećom vrijednošću ove sekcije.
Za razliku od školskog načina učenja matematike, gdje je obično najvažnije znati koje teorije i formule upotrijebiti i dobiti tačan rezultat, cilj u Školi matematike je razviti vještine rješavanja problema kod učenika. Predavači i predavačice u Školi su Harun Hindija, Sead Delalić, prof. Hasan Jamak, Adisa Bolić i Admir Beširević - pogađate, igrači nogometa iz zadatka.
Kao svojevrsni rezultat matematičkih kampova i Škole matematike javila se ideja da se u Sarajevu osnuje Matematička gimnazija. Kao alternativa toj ideji, za početak, rješenje vide u izmjeni i doradi matematičkog smjera u Drugoj gimnaziji. Iako ta srednja škola slovi za matematičku, rezultati koje njeni učenici ostvaruju na takmičenjima nisu zadovoljavajući. Tako je, naprimjer, posljednji koji je u Drugu gimnaziju donio medalju s Matematičke olimpijade upravo Admir Beširević, a to se desilo relativno davne 2010. S druge strane, učenici Internacionalne škole i Sarajevo koledža za to vrijeme osvojili su devet medalja iz matematike i nekoliko iz fizike. Admir vjeruje da je razlog tome to što se u ovim školama organizuju kvalitetne sekcije i kampovi dok se učenici iz Druge gimnazije moraju sami spremati za takmičenja, što je bio slučaj i s Admirom.
Danas, kada cijelu stvar posmatra iz druge perspektive, s određenom distancom, Admir smatra da obrazovanje koje se stiče iz matematike u BiH danas nije lošije u odnosu na obrazovanje te 2010., već su druge škole i zemlje napredovale i usavršile svoje metode. Ubijeđen je da je ideja o osnivanju matematičkih odjeljenja u školama ostvariva. U susjednoj Srbiji to je već stvarnost. U Beogradu postoji vrlo uspješna Matematička gimnazija, a u gradovima širom Srbije postoje odjeljenja u srednjim školama koja rade po programu matematičke gimnazije, gdje je akcent stavljen, pored matematike, na fiziku i programiranje.
Prednost srbijanskih matematičara u odnosu na naše vidljiva je i po njihovoj rangiranosti na Matematičkoj olimpijadi. Tako se Srbija posljednjih godina nalazi oko 25. mjesta na rang-ljestvici, dok je Bosna i Hercegovina u posljednje tri godine na 43., 45. i 44. mjestu od 100 do 110 zemalja koje se takmiče.
Amar Kurić je učenik četvrtog razreda Međunarodne srednje škole Sarajevo koji je na Internacionalnoj matematičkoj olimpijadi ove godine osvojio bronzanu medalju. Odlučio je da krene na časove Škole matematike jer je od sedmog razreda išao na matematička takmičenja. Kaže da redovna nastava matematike nema mnogo dodirnih tačaka s nastavom matematike u Školi. Kaže da redovna nastava nastoji da učenike nauči teoriji, odnosno da pokaže što više teorijskih osnova i njihovih elementarnih primjena, dok je takmičarska matematika više okrenuta rješavanju problema, kombinovanju već naučenog. Cilj takmičarskih zadataka nije da pokazuju razlike u znanju ni približno u onoj mjeri u kojoj pokazuju razlike u vještini rješavanja problema. Amar je povukao paralelu i između nastavnika u Školi matematike i redovnoj školi: Predavači u Školi matematike svjesni su da pred sobom imaju mlade ljude koje matematika zanima, što na redovnoj nastavi nije slučaj, pa shodno tome prilagođavaju tempo i način predavanja. Ono što se meni naročito sviđa u Školi matematike je to u kolikoj mjeri predavači poznaju svakog učenika. Rekao nam je još da bi volio da u BiH postoji matematička gimnazija i da bi on išao u nju. Planira studirati kompjuterske nauke na Prirodno-matematičkom fakultetu u Sarajevu.
Nejla Subašić je prve dvije godine srednje škole pohađala Sarajevo koledž u Sarajevu, a sada je učenica trećeg razreda Druge gimnazije. Za vrijeme mog boravka u Koledžu stekla sam utisak da nas ne opterećuju gradivom redovne nastave, nego je škola jako pogodna za osobe koje imaju neki specifičan interes, ujedno i određen cilj. Takmičare iz matematike, kao što sam i sama bila, oslobađaju nastave u vrijeme takmičenja i još pojedinih lakših predmeta kako bismo mi to vrijeme iskoristili za vježbanje matematike. Tako, naprimjer, čula sam da su jednu djevojku koja je voljela crtati na pijesku slali na neko takmičenje u Ameriku i da je tamo dobila stipendiju za dalje školovanje. Međutim, mene lično je interesovalo mnogo više od same matematike, a pošto je redovna nastava bila pojednostavljena, nisam imala neko znanje naprimjer iz fizike i informatike, bar ne onoliko koliko sam htjela. Naravno da mi je još lakše bilo donijeti tu odluku jer je sada Škola matematike dostupna učenicima iz svih škola, a ja sam svakako htjela nastaviti s njom. Sada primjećujem da mi je svaki predmet dosta izazovniji. Dosta više matematičke teorije se radi u Drugoj gimnaziji. Testovi su mnogo teži i zahtijevaju konstantno vježbanje, ali i dalje se mnogo razlikuje od matematike koju radimo u sklopu Škole matematike. Moje viđenje je da u Školi matematike radimo zadatke za koje treba više logike i kreativnosti, dok u školi primjenjujemo stečena teorijska znanja. Mislim da bi matematička gimnazija trebala biti neka kombinacija ove dvije škole i to bi za mene bilo idealno jer zaista oboje je potrebno. Vidjela sam plan i program Matematičke gimnazije u Beogradu, oblasti matematike su raspoređene u različitim predmetima pa bi se sve moglo detaljno obraditi. Što se tiče mog daljeg školovanja, ja se dvoumim između PMF-a i ETF-a.
Boris Stanković je učenik devetog razreda Osnovne škole Safvet-beg Bašagić u Visokom i na Juniorskoj balkanskoj matematičkoj olimpijadi je osvojio bronzanu medalju. Kaže da planira upisati Drugu gimnaziju jer u Bosni i Hercegovini ne postoji matematička gimnazija kao u Srbiji i Druga je nešto najbliže tome i izbor većine takmičara uz Međunarodnu srednju školu i Sarajevo College. Druga gimnazija, uz prilično jaku matematiku na redovnoj nastavi, nudi i dobro opće obrazovanje, pa će stoga najvjerovatnije biti moj izbor i izbor nekolicine mojih prijatelja koji pohađaju Školu matematike. Upisao bih matematičku gimnaziju da postoji kod nas bez trunke razmišljanja. Koliko god kvaliteta nastave u Drugoj i Međunarodnoj bila dobra, to je daleko od jačine matematike u Matematičkoj gimnaziji u Beogradu ili, primjera radi, u Bugarskoj. Imao sam priliku i upoznati neke učenike MG iz Beograda i jako mi je žao što kod nas ne postoji nešto bar približne jačine kao MG u Beogradu. Za Školu matematike saznao je prošle godine i to je bila preporuka njegove nastavnice Šejle Šabanović. Kaže da mu je na početku bilo prilično teško pratiti svo gradivo, ali, uz dovoljno vježbe, sada mu je puno lakše. Pitali smo ga da uporedi nastavu matematike u redovnoj nastavi s nastavom matematike na sekciji i rekao je: Ono što učimo u osnovnoj školi na redovnoj nastavi uopće nema veze s ikakvom ozbiljnijom takmičarskom matematikom. Cijeli taj sistem pun je šablonske matematike koja nije baš pretjerano lijepa, a meni nije bila ni previše korisna za ozbiljnija takmičenja. U Školi matematike i na kampovima sam stekao ključna znanja iz matematike i otkrio svu njenu ljepotu i zato bih svima koji se žele baviti matematikom preporučio da što prije upišu Školu matematike i počnu dolaziti na kampove.
Najmlađi polaznik Škole matematike, koji je na dodatnu nastavu krenuo dok je bio peti razred osnovne škole, je Benjamin Mujkić. Benjamin sada pohađa šesti razred i već drugu godinu svake subote na sekciju dolazi iz Novog Travnika. Prošle godine na takmičenju iz matematike učestvovao je u kategoriji sedmih razreda, a dobar rezultat postigao je zahvaljujući Školi. Pitali smo ga kako mu pada činjenica da jedan dan vikenda odvoji za matematiku: Volim matematiku i želim i dalje da se usavršavam i zato s oduševljenjem jedan dan vikenda posvećujem dodatnoj nastavi matematike. Moja motivacija za učenje matematike proizlazi još iz predškolskog perioda. Još tada sam, prema majčinim riječima, uživao rješavati razne logičke zadatke i igre koje ne uključuju poznavanje matematičkih zakonitosti. Naravno, to sam sve rješavao uz igru sa mamom i sekom. A u prvom razredu mi je učiteljica govorila da sam njen digitron, jer sam veoma brzo usmeno sabirao i oduzimao s prelazom čak trocifrene brojeve. Rekao nam je da od ove Škole očekuje da će mu i dalje pokazivati pravi put za kvalitetno matematičko obrazovanje i pomoći mu da ispravno razmišlja i uživa u ljepoti matematike kao nauke. Na pitanje koliko se redovna nastava razlikuje od dodatne, kaže: Razlika između nastave matematike koju imam u svojoj redovnoj školi i nastave matematike koju mi pruža škola za nadarene učenike je očigledna. Redovna nastava je organizovana prema prosječnom učeniku, većinom se rade šablonski zadaci i malo prostora se ostavlja za kreativnost i teže zadatke. Također želim da naglasim da sam, kako bih mogao pratiti NPP Škole matematike, uz malu pomoć porodice, već prije početka nastave preradio školsko gradivo šestog i sedmog razreda. Škola matematike, za razliku od redovne nastave, je organizovana prema nivoima i sposobnostima učenika i pruža kvalitetno obrazovanje iz četiri oblasti matematike. Predavači su profesori i bivši olimpijci koji se trude da nam dočaraju pravu ljepotu i moć matematike. Pratim sva takmičenja iz matematike i primijetio sam da naši susjedi postižu bolje rezultate, posebno Srbija. Sestra mi je rekla da je razlog tome što u Beogradu postoji Matematička gimnazija koja pruža daleko kvalitetnije matematičko obrazovanje u odnosu na druge gimnazije i da iz nje izlaze brojni olimpijci. Volio bih da takva škola postoji i u BiH, ali pošto ne postoji, vjerovatno ću upisati Međunarodnu srednju školu kao i sestra koja mi je uzor. Na kraju, želim još dodati da bih volio da u redovnim školama postoje programi koji će omogućiti djeci da brže napreduju u skladu sa svojim sposobnostima.
Admira smo pitali čime bi matematička gimnazija doprinijela razvoju BiH: Jasno je da je IT sektor jedna od najznačajnijih grana ekonomije u BiH. Poznajem mnoge programere koji misle da su tokom studija imali više matematike nego što im treba u praksi. Postoje mnogi poslovi u IT sektoru za koje zaista nije neophodno veliko matematičko znanje. Međutim, posmatrajmo sljedeći problem: Distributerska firma dnevno opskrbljuje 200-300 kupaca čije su lokacije poznate. Firma posjeduje 6-10 kamiona. Cilj je napraviti aplikaciju koja automatski raspoređuje koji kamion treba da opskrbi kojeg kupca i to tako da trošak goriva bude minimalan. Ovaj i slični problemi rješavaju se naprednim algoritmima za koje su potrebne izuzetne matematičke vještine, kao i kreativnost koja se potencira na matematičkim takmičenjima. Kod nas, nažalost, nema puno poslova na kojima se traže ljudi koji su sposobni rješavati ovakve probleme. Pored opisanog problema, postoje problemi u kojima ključnu ulogu ima napredno znanje iz matematike i fizike. Međutim, kod nas se većinom rješenja za takve probleme uvoze i to nas skupo košta. Tako, naprimjer, za potrebe medicine koriste se uređaji i teorija koju su razvili fizičari (MRI, ultrazvuk, X ray...). No, po mom mišljenju, pored izgubljenog novca, još veća šteta je načinjena gubitkom kvalitetnih mladih ljudi koji su otišli raditi vani jer im se ovdje nije nudio dovoljno izazovan posao. Gotovo svi olimpijci iz fizike napuštaju BiH i, nakon studija u inostranstvu, ostaju tamo raditi na nečemu što ćemo možda od njih kasnije kupovati. Ovo je ujedno i veliki gubitak za akademsku zajednicu, posebno ako zamislimo koliki bi bio njihov doprinos ako bi radili na fakultetu i/ili naučnom institutu. Zbog svega ovoga, mislim da bi matematička gimnazija doprinijela popularizaciji ovih nauka i omogućila da se ovdje stvaraju stručnjaci i stručnjakinje koje bi mogle pokrenuti ovo društvo i njegovu ekonomiju. Vjerujem da se u tokove savremenog društva možemo uključiti samo znanjem i vještinama koje moderna epoha zahtijeva.
Zaključak priče o Školi matematike je da se metode nastave i izučavanja moraju mijenjati ukoliko postoji ikakva želja da znanje naših učenika može parirati znanju učenika iz drugih država i da se osposobljavanjem takvih kadrova jača obrazovanje, a preko njega i ekonomija. Dokaz za to je podatak da su prošle godine u BiH došle četiri medalje s Matematičke olimpijade a da je troje nagrađene djece pohađalo Školu matematike, a svih četvero su učestvovali na matematičkim kampovima. Dakle, nijedna škola u BiH nije razvila mehanizme koji bi osposobili đake za međunarodna takmičenja, bilo da se radi o redovnoj nastavi ili sekciji.
Omogućavanje dodatne nastave iz matematike u redovnim školama možda bi doprinijelo i popularizaciji matematike među djevojčicama. Iako je omjer djevojčica i dječaka na Školi matematike otprilike izjednačen, broj takmičara na Matematičkoj olimpijadi ubjedljivo je veći od broja takmičarki. Zbog toga je 2012. godine osnovana Ženska matematička olimpijada. Trenutno predavači iz Škole matematike rade na ideji formiranja iste sekcije u Mostaru, Tuzli i Banoj Luci kako bi s djecom radili ozbiljnu matematiku i tako minimalizirali štetu loših odluka ministarstava, njihove nedovoljne podrške nadarenim učenicima, loših nastavnih planova i programa i neentuzijastičnih nastavnika.
Rješenje zadatka sa početka teksta je da je šesti gol postigao Harun. A ono najljepše u matematici - proces kojim smo došli do ovog rješenja - zaključite sami.
